Title: Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLV
Author: kosztola
Last saved by: Epsilonok Bt.
Company: SZTE

Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLV. esztendő
2006-2007. tanév

11. évfolyam

Döntő

1. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b nem negatív valós számok, , akkor
                                              !

2. Az ABC háromszögben AB a leghosszabb oldal. Mutassuk meg, hogy a háromszög belsejének bármely P pontjára teljesül a  egyenlőtlenség!

3. Az ABCDE ötszögnek van beírható köre. Tudjuk továbbá, hogy az AD és CE átlók a beírt kör O középpontjában metszik egymást. Igazoljuk, hogy a BO egyenes merőleges a DE oldal egyenesére!

4. Melyek azok a valós számok, amelyek kielégítik az  egyenletet? (, ahol  az a-nál nem nagyobb legnagyobb egész szám.)

5. Van-e a pozitív egész számok között olyan legnagyobb páratlan szám, amelyik nem áll elő három páronként különböző pozitív összetett szám összegeként? (A választ indokolni kell!)

6. Egy 8x8-as sakktábla mindegyik mezőjére beírunk egy számot az első 32 pozitív egész szám közül úgy, hogy mindegyik számot pontosan kétszer használjuk fel. Igazoljuk, hogy ki lehet választani 32 mezőt úgy, hogy a kiválasztott mezőkön az első 32 pozitív egész szám mindegyike előfordul, és nincs olyan sor és oszlop, amelyben nincs kiválasztott mező!