Title: Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLV
Author: kosztola
Last saved by: Epsilonok Bt.
Company: SZTE

Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLV. esztendő
2006-2007. tanév

10. évfolyam

I. forduló

1. Melyik az a legkisebb pozitív egész n szám, amelyre az  tört egyszerűsíthető, azaz van olyan 1-nél nagyobb pozitív egész szám, amely mind a számlálónak, mind a nevezőnek osztója?

2. Melyek azok az (x; y; z) számhármasok, amelyekre ?

3. Az ABC háromszög B csúcsából induló belső szögfelező az AC oldalt a D, míg a C csúcsból induló belső szögfelező az AB oldalt az E pontban metszi. A háromszög beírt körének középpontja O, és tudjuk, hogy . Bizonyítsuk be, hogy , vagy az ABC háromszög egyenlő szárú!

4. Ha , akkor hogyan fejezhető ki  az  segítségével?

5. Az ABCD húrnégyszög átlói merőlegesek egymásra. Ha O jelöli a négyszög köré írt kör középpontját, akkor igaz-e, hogy az AOC töröttvonal felezi a négyszög területét? (A választ indokolni kell!)

6. Egy 9x9-es négyzetet felosztunk 81 egybevágó négyzetre. Néhány kis négyzetet kiszínezünk úgy, hogy bármely két színezett négyzet középpontjának távolsága nagyobb, mint 2. Igazoljuk, hogy 17 darab kis négyzet kiszínezhető a kívánt módon! Van-e olyan, a feltételnek megfelelő színezés, amelyben több mint 17 darab négyzet színezett? (A választ indokolni kell!)