Szőkefalvi –Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

9. évfolyam

                                                                          II. forduló

1.	Számítsuk ki az alábbi összeget!

2.	Egy tanár így szól két kedves tanítványához, A-hoz és B-hez: Gondoltam két, 1-nél nagyobb, nem feltétlenül különböző egész számot. A-nak megsúgom a két szám szorzatát, B-nek pedig az összegét. Ez az összeg kisebb 100-nál. Anélkül, hogy egymással beszélnétek, próbáljátok meg kitalálni holnapig a gondolt számokat. A következő napon a tanítványok így szólnak a tanárhoz:
     A: Nem jöttem rá, hogy melyek a gondolt számok.
     B: Én tudtam, hogy nem tudod meghatározni a gondolt számokat.
     A: Akkor már tudom, hogy melyek a gondolt számok.
     B: Már én is tudom.
     Melyek voltak a gondolt számok?

3.	Az ABC háromszögben két magasság mindegyike legalább akkora, mint az az oldal, amelyre merőlegesek. Mekkorák a háromszög szögei?

4.	Határozzuk meg a 999-cel osztható, 9-es számjegyet nem tartalmazó legkisebb pozitív egész számot!

5.	Az ABC háromszög BC oldalának egy tetszőleges belső pontja legyen D. A D ponton át húzzunk párhuzamost az AC és az AB oldalegyenesekkel. Az előbbi az AB oldalt az E, az utóbbi pedig az AC oldalt az F pontban metszi. A CE és BF egyenesek metszéspontját jelöljük G-vel. Igazoljuk, hogy az AEGF négyszög területe egyenlő a BCG háromszög területével!

6.	Egy szabályos 13-szög csúcsait két színnel színeztük. Bizonyítsuk be, hogy van három egyszínű csúcs, melyek egy egyenlő szárú háromszög csúcsait alkotják!