Szőkefalvi –Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

9. évfolyam

                                                                          I. forduló

1.	Egy sakkversenyen induló bármely két versenyző egyszer játszik egymással. Bizonyítsa be, hogy minden forduló után van két olyan versenyző, akik ugyanannyi mérkőzést játszottak!

2.	Legyen x; y; z növekvő sorrendben három egymástól különböző természetes szám, amelyek reciprokainak összege egész szám. Határozza meg x; y és z értékét!

3.	Az ABC egyenlőszárú derékszögű háromszög AC és BC befogóján úgy vesszük fel a D és E pontokat, hogy DE párhuzamos legyen AB-vel és DE+EA=AB. Határozza meg az EAB szög nagyságát!

4.	 Határozzuk meg a  különböző prímek szorzatát, ha 
                                                                     .

5.	2005 darab papírlap közül néhányat kettévágtunk, majd az összes papírlap közül kétszer annyit, mint az előbb, újra kettévágtunk. Ezután az összes papírlap közül kétszer annyit, mint a legutóbb, újra kettévágtunk, és az eljárást így folytattuk tovább (mindig kétszer annyit kettévágva, mint legutóbb). Hány lapot vágtunk ketté először, ha végül összesen 3021 darab papírlap keletkezett?

6.	Egy derékszögű háromszög oldalaira kifelé az ADEB; a BKLC és a CXYA négyzeteket rajzoltuk. Bizonyítsa be, hogy az ADY, a BEK és a CLX háromszögek területe egyenlő!