Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

12. osztály

II. forduló

1.	Bontsuk fel a 2006-ot pozitív egészek összegére úgy, hogy az összeadandók szorzata maximális legyen! Mennyivel egyenlő ez a maximális szorzat?
2.	Vegyünk egy egyenlő szárú háromszöget a beírt körével. Írjunk a kör köré olyan érintő négyzetet, melynek egyik oldala illeszkedik a háromszög alapjára. Forgassuk meg a síkidomokat a háromszög szimmetriatengelye körül.
a)	Milyen háromszög esetén lesz a keletkezett forgáskúp és a forgáshenger térfogatának aránya minimális?
b)	Mennyi ez a minimum?
3.	Határozzuk meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az
                        x4+mx3+(4m–14)x2+mx+1=0
egyenletnek négy különböző valós gyöke legyen! Van-e az m paraméternek olyan egész értéke, amelyre van egész gyöke az egyenletnek?
4.	Egy háromszög a, b, c oldalai között fennáll a következő összefüggés:
                                 
Bizonyítsuk be, hogy a b oldallal szemközti szög 60º-os!
Igaz-e a tétel megfordítása? Ha igaz bizonyítsuk be!
5.	Bizonyítsuk be, ha a valós számok halmazán értelmezett f függvényre igaz, hogy bármely x valós szám esetén
                                 ,
akkor f periodikus függvény. Mennyi a periódus?
6.	Az egységnyi oldalú szabályos hétszög két különböző átlója x, illetve y egység hosszú. Bizonyítsuk be, hogy
                                            !