Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

12. osztály

I. forduló

1.	Tekintsük a derékszögű koordináta-rendszerben a következő rácspontokat: O(0;0), A(0;1), P(2;0), Q(n;0), R(m;0)! Határozzuk meg azokat az (n;m) egész számpárokat, amelyek esetén teljesül, hogy APO=AQO+ARO! (A  jel szöget jelöl.)
2.	Felvehető-e a síkon 2005 pont úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen és bármely kettő távolsága racionális?
3.	Bizonyítsuk be, hogy bármely  valós szám esetén teljesül a következő egyenlőtlenség
                                     !
4.	Az ABCDEFGH kocka GH élegyenesének mely P pontjára lesz AP/BP arány a legnagyobb, illetve a legkisebb?
5.	Tekintsük az S = 1·2·3 + 2·3·4 + 3·4·5 +…+ 2004·2005·2006 szorzatösszeget. Bizonyítsuk be, hogy S osztható 2005-tel!
6.	Egy osztályba 25 tanuló jár. Közülük 17 tud kerékpározni, 13 úszni és 8 síelni. Egy tanuló sem űzi mindhárom sportot, de a kerékpározók, az úszók és a síelők egyaránt vagy jók, vagy közepesek matematikából, ugyanakkor az osztály 6 tanulója közepesnél gyengébb szinten tudja a matematikát. Hány jeles tanuló van matematikából az osztályban? Hány úszó tud síelni?