Szőkefalvi –Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

     11. évfolyam

II. forduló

1.	Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán.

2.	Az ABC háromszögben a szokásos jelöléseket használva . Legyen D a c-ből induló szögfelező talppontja az AB oldalon, O pedig a háromszög köré írható kör középpontja. Mekkorák a háromszög szögei, ha az ODAC négyszög húrnégyszög?

3.	Egy 8×8-as sakktábla mezőit valahogyan megszámoztuk az 1-től 64-ig terjedő számokkal. Nevezzük két szomszédos mező távolságának a rajtuk álló számok különbségének abszolút értékét. (Két mező szomszédos, ha van közös csúcsuk.) Mi az a legnagyobb szám, amelynél nagyobb távolság a sakktábla bármely számozásakor fellép valamely két szomszédos mező között?

4.	Adott a koordinátarendszerben 10 db különböző pont, amelyek koordinátái egész számok. Bizonyítsuk be, hogy található közöttük két olyan pont, amelyeket összekötő szakasz harmadoló pontjainak koordinátái is egészek!

5.	Határozzuk meg azokat az x, y, z valós számokat (x, y >1), amelyekre
                                                               .

6.	Az ABC derékszögű háromszög oldalait meghosszabbítjuk: CA-t A-n túl az AQ=CA szakasszal, az AB átfogót B-n túl a BR=AB szakasszal, BC-t C-n túl a CP=BC szakasszal. Mi a feltétele annak, hogy a keletkezett PQR háromszög az eredetihez hasonló legyen?