Szőkefalvi –Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

     11. évfolyam

                                                                             I. forduló

1.	Vannak-e olyan a, b természetes számok, amelyek igazzá teszik az alábbi egyenlőséget?

2.	Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírható és egyik melléírható körének a középpontjait összekötő szakaszt a háromszög köré írható köre felezi!

3.	Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán!

                                                                                       xy = 8

4.	Az ABC hegyesszögű és nem szabályos háromszögben a BAC szög 60 fokos. Jelölje E a C-ből induló magasság talppontját. Igazolja, hogy OM felezi a BME szöget, ha M a háromszög magasságpontja, O pedig a háromszög körülírt körének a középpontja!

5.	Mely p valós számok esetén teljesül minden valós x-re a következő egyenlőtlenség?

6.	A labdarúgó pálya alapvonalának közepén, a két kapufa között húzódik a gólvonal. A gólvonal egyik végpontja a saját alapvonalának egyik szögletzászlójától „a”, a másik végpontja ugyanezen szögletzászlótól „b” távolságra van (b>a). Az oldalvonal mely pontjából legjobb szabadrúgást végezni? (Azaz az oldalvonal mely pontjából látszik legnagyobb szögben a gólvonal?) Mekkora ez a szög, ha a=21 méter és b=28 méter?