Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

10. osztály

II. forduló

1.	Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
                                      
2.	Egy könyvtárat déli 12-kor nyitnak ki és délután 3 órakor becsuknak. A könyvtárba csak pontosan kerek percidőkor lehet belépni. Első ízben pontosan 12 órakor, utoljára 2 óra 59 perckor. Egyszerre csak egy ember léphet a könyvtárba. Aki a könyvtárba lép belépése után pontosan egy óra múlva elalszik, és pontosan egy órát alszik, hacsak ebben a könyvtár zárása meg nem zavarja. Alvás közben senkit nem lehet megzavarni a könyvtárba lépéssel. Mutassuk meg, hogy ilyen feltételek mellett egy nap a könyvtárnak legfeljebb 61 látogatója lehet.

3.	Határozzuk meg azokat az n pozitív egész számokat és p prímszámokat, melyekre fennáll az  egyenlőség!

4.	Egy négyszöget egyik átlójával két háromszögre bontunk. Bizonyítsuk be, hogy ha a két háromszög beírt körei érintik egymást, akkor a másik átlóhoz tartozó háromszögek beírt körei is érintik egymást.

5.	Határozzuk meg az f : R→R :  függvény értékkészletét! Hol veszi fel a függvény a szélsőértékeit?

6.	Adottak egy körben az AB és CD egymást nem metsző húrok, és a CD húron egy E pont. Szerkesszünk a körön olyan F pontot, amellyel az AF és BF húrok a CD húrból olyan GH szakaszt vágnak ki, melyet az E pont felez!