Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIV. esztendő
2005-2006. tanév

10. osztály

I. forduló

1.	Egy 2005x2005-ös négyzet alakú táblázat minden mezőjére +1-et vagy -1-et írtunk, tetszőleges sorrendben. Minden oszlop alá odaírjuk az oszlopban álló számok szorzatát, a sorok mellé pedig a sorokban álló számok szorzatát. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott 4010 szám összege nem lehet 0.
2.	Mutassuk meg, hogy a P(x) = x4 + 2x2 + 2x +4 polinom nem bontható fel két egész együtthatós polinom szorzatára.
3.	Az ABCD konvex négyszögben AB = 2CD. Legyen P és Q az AD, illetve a BC oldal olyan belső pontja, amelyre AP = 2PD, illetve BQ = 2QC! Igazoljuk, hogy a PQ egyenes az AB és a CD egyenesekkel egyenlő szöget zár be!
4.	Az ABC háromszög beírt körének középpontját jelöljük K-val. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha AK·BK = CK·AB!
5.	Az x, y és z valós számokra teljesülnek a következő összefüggések:
a)	x + y = z – 1,
b)	xy = z2 – 7z + 14.
Mely z érték esetén lesz az x2 + y2 összeg értéke maximális?
Mennyi az x2 + y2 összeg maximális értéke?
6.	A koordinátasíkon rácspontoknak nevezzük azokat a pontokat, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám. Hat színnel színeztük ki a koordinátasík rácspontjait. Mutassuk meg, hogy van olyan téglalap, amelynek csúcsai egyszínűek és oldalai párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel.