Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

9. osztály

Döntő

1. Bergengócia labdarúgó bajnokságában összesen 312 pontot osztottak ki a csapatok között. A győzelem 2, a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ért. Hány csapat vett részt a bajnokságban, ha mindenki mindenkivel két mérkőzést játszott? 

2. Az ABC háromszögben a szokásos jelölésekkel , . Igazoljuk, hogy az A csúcshoz tartozó súlyvonal harmadolja az α szöget.

3. Egy zárt futópályán ketten futnak ugyanabban az irányban állandó sebességgel. Egy adott pillanatban az A futó 10 m-rel van B előtt, de miután A 22 m-t fut, B utoléri. Hány olyan pontja van a pályának, ahol B lekörözheti A-t?

4. Egy 2005 x 2005-ös négyzet alakú táblázat minden mezőjére ráírjuk az 1, , 0 számok valamelyikét. Ki lehet-e tölteni a táblázatot úgy, hogy a sorokban, az oszlopokban és a két átlóban lévő számok összege mind különböző legyen?

5. Az ABCDEF pozitív körüljárási irányú konvex hatszögre teljesül, hogy , , , valamint . Bizonyítsuk be, hogy az ACE háromszög területe fele a hatszög területének.

6. Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amellyel  bármely n pozitív egész szám esetén osztható?