Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

9. osztály

II. forduló

1. Egyszer egy csiga egy bambuszfa tetejére mászott. A fa úgy nő, hogy törzsének minden pontja ugyanazzal a sebességgel emelkedik felfelé. A csiga 7 óra alatt ért fel, a fa tetején 1 órát pihent, majd 8 óra alatt ért le. Ha a csiga sebességének és a fa növekedési sebességének is állandó a nagysága, akkor a csiga sebessége hányszorosa a fa növekedési sebességének?

2. Egy konvex sokszög oldalai közül az egyik 2 cm, a többi pedig 1 cm hosszú. Igazoljuk, hogy a sokszögbe nem lehet kört írni, azaz nincs olyan kör, amely a sokszög minden oldalát belső pontban érinti.

3. Adott egy 102x102-es sakktábla. Legalább hány lépés szükséges ahhoz, hogy a huszár a bal alsó sarokból a jobb felső sarokba jusson? (A választ indokolni kell.)

4. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b pozitív egész számok, akkor 
    a) ,
    b) ,
ahol  az a és b számok legkisebb közös többszöröse,  pedig a legnagyobb közös osztója.

5. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azon P(x; y) pontok halmazát, amelyek koordinátáira fennáll az
                                                            
összefüggés.

6. Egy egyenlő szárú háromszög szárainak hossza 10 cm, az alapon fekvő egyik külső szög a szárak által bezárt szög 3,5-szerese. 
    a) Mekkorák a háromszög szögei?
    b) Mekkora a háromszög területének pontos számértéke?