Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

12. osztály

Döntő

1. Egy asztalitenisz versenyen ázsiai és európai versenyzők vettek részt, az európaiak háromszor annyian voltak, mint az ázsiaiak. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszott. A verseny végén kiderült, hogy az európaiak és az ázsiaiak által megnyert mérkőzések száma úgy aránylik egymáshoz, mint 6 : 5. Hány versenyző vett részt a versenyen? (Az asztalitenisz mérkőzéseken nincs döntetlen.)

2. Az ABC hegyesszögű háromszögben a szokásos jelölésekkel . A háromszögbe háromféleképpen írhatunk négyzetet úgy, hogy a négyzet két csúcsa a háromszög egyik oldalára, további két csúcsa pedig a háromszög másik két oldalára illeszkedjen. Melyik négyzetnek lesz legnagyobb a területe?

3. Egy számtani sorozat differenciája 3. Tudjuk, hogy a sorozat első  tagjának négyzetösszege megegyezik a következő k db tag négyzetösszegével (k adott pozitív egész szám). Adjuk meg a sorozat első tagját.

4. Keressük meg az összes olyan  pozitív egész számpárt, amelyre teljesül, hogy  és  egyaránt négyzetszám.

5. Adott gömb köré írt egyenes körkúpok közül melyiknek legkisebb a térfogata? Hányszorosa a minimális térfogatú kúp felszíne a gömb felszínének?

6. Egy n tagú társaságban mindenki k másikat ismer (az ismeretség kölcsönös). Véletlenszerűen kiválasztunk három embert a társaságból. Mi a valószínűsége, hogy közülük mindenki ismeri a másik kettőt vagy egyikük sem ismeri a másik kettőt?