Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

12. osztály

II. forduló

1. 10 db egymást követő pozitív egész szám összege osztója négyzeteik összegének. Melyek lehetnek ezek a pozitív egész számok?

2. Az ABCD négyzet fölé az  kockát „emeltük” úgy, hogy  az A,  a B,  a C,  a D pont fölött van. Kettévágjuk ezt a kockát egy olyan síkkal, amely az A és  csúcsokra, valamint a  él F felezőpontjára illeszkedik. 
    a) Adjuk meg a két rész térfogatának arányát.
    b) Mekkora szöget zár be az  sík az ABCD lappal?

3. Legyenek p és q olyan pozitív számok, amelyekre . Tekintsük az  egyenletű parabola koordináta-tengelyekkel alkotott három metszéspontját. Igazoljuk, hogy ezen pontokra illeszkedő kör áthalad a P(0; 1) ponton.

4. A kockapóker nevű játékban öt különböző színű kockával dobunk. „Két pár”-nak nevezzük a dobást, ha két-két kockán ugyanaz a szám jelenik meg, és ezek különböznek egymástól is, meg az ötödik kockán levő számtól is. „Terc”-nek nevezzük a dobást, ha van három kocka, amelyen ugyanaz a szám áll, a másik kettőn pedig ettől és egymástól is különböző számok állnak. Hányszor akkora a „két pár” dobás valószínűsége, mint a „terc” dobás valószínűsége?

5. Adott gömb köré azt érintő egyenes csonka kúpot írunk. Tekintsük a gömb és a csonka kúp felszínének hányadosát. Milyen értékeket vehet fel ez a hányados?

6. 3x3-as és 2x2-es négyzetekből szeretnénk összeállítani egy 2005x2005-ös négyzetet. Elvégezhető-e ez a feladat? (A választ indokolni kell.)