Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

12. osztály

I. forduló

1. Legyenek m és n tetszőleges pozitív egészek. Adjuk meg a  kifejezés legkisebb értékét.

2. Hány rácsponton halad át az  egyenletű görbe? (Rácspontnak nevezzük a koordinátasík egész koordinátájú pontjait.)

3. Egy szakaszt egyik belső pontja két részre vágja. A szakasz és a két rész mindegyike fölé (ugyanazon oldalra) egy-egy félkört írunk. Legyen a két kisebb félkör sugara R illetve r. Adjuk meg annak a körnek a sugarát, amelyik mindhárom félkört érinti.

4. Az  számok ebben a sorrendben egy számtani sorozat első öt tagja. Tudjuk, hogy  és  gyöke az 
                                                            
egyenletnek. Melyek ezek a számok?

5. Az ABC hegyesszögű háromszög A csúcsból induló belső szögfelezője a BC oldalt az M pontban, a körülírt kört a Q pontban metszi. Az M pontból merőlegest állítunk az AB és AC oldalakra, ezek talppontjai rendre P illetve R. Igazoljuk, hogy az APQR négyszög területe megegyezik az ABC háromszög területével.

6. Legfeljebb hány bástya helyezhető el egy 8 x 8-as sakktáblán úgy, hogy mindegyiket legfeljebb egy másik üsse? (Két bástya üti egymást, ha ugyanazon sorban, vagy oszlopban vannak.) Oldjuk meg a feladatot n x n-es tábla esetére is.