Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

11. osztály

Döntő

1. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán.

2. Határozzuk meg az  függvény minimális értékét, és a minimum helyét.

3. Jelölje F az ABC háromszög AB oldalának felezőpontját. Mutassuk meg, hogy ha  a CAF,  pedig a CBF háromszög beírt körének sugara, akkor
                                                                    .

4. Egy házibulin 20 ember vesz részt, mindenki legalább 10 másikat ismer a többiek közül. Bizonyítsuk be, hogy van négy olyan ember, A, B, C és D, hogy A ismeri B-t, B ismeri C-t, C ismeri D-t és D ismeri A-t. (Az ismeretség kölcsönös.)

5. Igazoljuk, hogy létezik olyan legfeljebb 2005 jegyű pozitív egész szám, amelynek valamennyi jegye 1-es vagy 2-es és osztható -nel.

6. Az ABCD konvex négyszögben P az AB, Q a BC, R a CD, S pedig a DA oldal felezőpontja. A PR és SQ középvonalak metszéspontja M. Mutassuk meg, hogy az ABM és CDM háromszögek területének összege az ABCD négyszög területének felével egyenlő.