Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

11. osztály

II. forduló

1. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán.

2. Adottak az a és b pozitív egész számok úgy, hogy  egész szám. Mutassuk meg, hogy a és b legnagyobb közös osztója nem nagyobb, mint .

3. Az e egyenes két adott sugarú, egymást metsző kört az A és B pontokban érint. A körök metszéspontjai C és D, úgy, hogy D van e-hez közelebb. Igazoljuk, hogy az ABC háromszög köré írt körének sugara nem függ az AB szakasz hosszától.

4. Az ABC hegyesszögű háromszögben a BT magasság mint átmérő fölé a k kört írjuk, amely az AB oldalt az E, a BC oldalt az F pontban metszi. A k körhöz az E és F pontokon át érintőket húzunk. Bizonyítsuk be, hogy ezen érintők metszéspontja a B csúcsra illeszkedő súlyvonal egyenesén van.

5. A 8x8-as sakktáblán egy bástya elindul valamely mezőről, és minden mezőt pontosan egyszer érintve végül visszajut a kiindulási mezőre. Útja során
    a) legalább,
    b) legfeljebb
hányszor változtat irányt?

6. Az m és n pozitív egész számok összege 2005. Legfeljebb hány helyen metszi egymást az  és  görbe a  intervallumon?