Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

10. osztály

Döntő

1. Mutassuk meg, hogy az 
                                      
egyenletnek két különböző valós gyöke van, ha .

2. Az ABC háromszögben P a BC oldal C-hez közelebbi harmadoló pontja, Q pedig az AC oldal A-hoz közelebbi harmadoló pontja. Az AP és BQ egyenesek metszéspontja M. Milyen arányban osztja fel a CM egyenes az AB oldalt?

3. Két pozitív egész számról tudjuk, hogy összegük , továbbá mindkét szám ugyanazokból a számjegyekből áll, csak a jegyek sorrendje különböző. Bizonyítsuk be, hogy mindkét szám osztható 10-zel.

4. Egy háromszög területe 0,5 . Igazoljuk, hogy a háromszög kerülete legalább 3 cm.

5. Az ABC háromszög A csúcsánál levő belső szög 60º-os. A BD és CE magasságok (D és E a megfelelő talppontok) M metszéspontja a háromszög belsejében van. Mutassuk meg, hogy ha O a háromszög köré írható kör középpontja, akkor az OM egyenes felezi a BME szöget.

6. A síkon n darab párhuzamos egyenes mindegyike merőlegesen metszi k darab párhuzamos egyenes mindegyikét. Ez az  darab egyenes összesen 4851 téglalapot határoz meg. Határozzuk meg n és k értékét.