Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

10. osztály

II. forduló

1. Az ABCD rombusz oldalainak hossza a, A csúcsánál 120°-os szög van. Az E és F pont rendre a BC illetve az AD oldal pontjai, az EF szakasz pedig a rombusz AC átlóját az M pontban metszi. A BEFA és az ECDF négyszög területének aránya 1 : 2. Határozzuk meg az EM szakasz hosszát, ha     AM : MC = 1 : 3.

2. Hány olyan 10-es számrendszerbeli hatjegyű szám van, amelynek a számjegyei közül legfeljebb egy ismétlődik és az is legfeljebb kétszer fordul elő a számban?

3. A 36cm2 területű derékszögű háromszögek közül melyiknek legkisebb az átfogója? 

4. Oldjuk meg a racionális számpárok halmazán a következő egyenletet.

5. Egy 8×8-as sakktábla 13 mezője megunta régi helyét és új helyet akart keresni magának a sakktáblán. Mutassuk meg, hogy a 13 vándorló mező között minden pillanatban van két olyan, amelyek távolsága 2 kis négyzetoldalnál kisebb. (A mezők foroghatnak is a sakktáblán, de mindvégig teljes terjedelmükben a táblán maradnak.)

6. Oldjuk meg a pozitív egész számok halmazán az abc = a + b + c egyenletet.