Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLIII. esztendő
2004-2005. tanév

10. osztály

I. forduló

1. Hány olyan pozitív egész szám van, amely -nél nem nagyobb, és -hez relatív prím?

2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán.

3. Az ABC háromszög A csúcsból induló belső szögfelezője messe a B csúcsból induló magasságvonalat a D pontban, a C csúcsból induló magasságvonalat pedig az E pontban. Tudjuk, hogy a D pont ugyanolyan távol van az AC oldaltól, mint az E pont az AB oldaltól. Következik-e ebből, hogy a háromszög egyenlő szárú? (A választ indokolni kell.)

4. A  illetve a  műveletet értelmezzük minden pozitív a és b szám esetén a következőképpen: 
                                                               .
Határozzuk meg az összes olyan a, b, c pozitív számot, amelyekre
                                                      .

5. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat a  pontokat, amelyeknek koordinátái egyszerre kielégítik az alábbi egyenlőtlenségeket.

6. Hány részre oszthatja, és hány részre nem oszthatja a síkot 2 kör és 1 egyenes?