Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

9. osztály

Döntő

1.	Egy zárt szekrényben levő egyszínű pólóing színére nézve négy állítás hangzik el, amelyekről tudjuk, hogy pontosan kettő igaz és pontosan kettő hamis. Van-e olyan állítás, amelyik biztosan igaz, és melyik az? (A választ indokolni kell.) Az állítások:
                      A: A póló színe fehér.
                      B: A póló színe nem piros.
                      C: A póló színe kék.
                D: A póló színe nem kék.

2.	Igazoljuk, hogy minden a és b valós számra teljesül az alábbi egyenlőtlenség!

3.	Egy 120º-os szög csúcsa körül egységnyi sugarú kört rajzolunk. Számítsuk ki annak az egységkört érintő körnek a sugarát, amelyik mindkét szögszárat is érinti!

4.	Egy háromjegyű szám jegyeinek összege 6. Ha a két szélső számjegyét felcseréljük, és az így nyert számot az eredetiből kivonjuk, akkor a különbség utolsó jegye 8 lesz. Határozzuk meg az eredeti háromjegyű számot!

5.	Határozzuk meg a b valós paraméter értékét, ha tudjuk, hogy az
                                                  
         függvényre minden, az értelmezési tartományához tartozó valós x esetén érvényes az                                            
            egyenlőség!

6.	Egy háromszög oldalainak hossza a, b és c. Érintse az a hosszúságú oldalt a beírt kör a P, a hozzáírt kör a Q pontban. Fejezzük ki a PQ szakasz hosszát b és c segítségével!