Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

12. osztály

Döntő

1.	Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!

2.	Egy a oldalhosszúságú négyzet csúcsaiból mint középpontokból rajzoljunk a sugarú köröket. Számítsuk ki a négy kör közös részének területét!

3.	Az a élhosszúságú ABCDEFGH kockát két részre osztja az EKJ sík, ahol K az AB, J a CG él felezőpontja. Mekkora a részek térfogata, és a síkmetszet területe?

4.	Az  nem negatív valós számok összege 2, továbbá . Határozzuk meg ezen feltételek mellett az 
                                                           
                kifejezés lehetséges legnagyobb és legkisebb értékét!

5.	Az asztal síkján négy egybevágó, r sugarú gömböt úgy helyezünk el, hogy mindegyik érinti két szomszédját, és középpontjaik egy négyzetet határoznak meg. Fedjük le ezeket a gömböket egy félgömbbel, amely mind a négy gömböt érinti, és főköre az asztal síkjára illeszkedik. (A négy egybevágó gömb benne van a félgömbben.) Ezek után helyezzünk el a félgömbben egy ötödik gömböt, amely érinti a négy r sugarú gömböt és a félgömböt is. Mekkora a félgömb és az ötödik gömb sugara?

6.	Egy iskolában 30 tanuló között 120 könyvet osztanak ki úgy, hogy mindegyik tanuló kap legalább 1 könyvet. Mindegyik elosztás esetén válasszuk ki azt a legtöbb tanulóból álló csoportot (a csoportban a tanulók száma legyen n), amelyben minden tanuló ugyanannyi könyvet kap. Mennyi az n lehetséges legkisebb értéke?