Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

10. osztály

Döntő

1.	Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

2.	Egy trapéz hosszabbik alapja n-szer olyan hosszú, mint a rövidebbik alap (). Igazoljuk, hogy a trapéz középvonala által meghatározott két négyszög területének aránya .

3.	Legyenek a, b, c és d olyan pozitív egész számok, amelyekre . Bizonyítsuk be, hogy  mindig összetett szám!

4.	Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza a és b, átfogójának hossza c. Mutassuk meg, hogy 
                                               !

5.	Bizonyítsuk be, hogy bármely valós a szám esetén érvényes a következő egyenlőtlenség!

6.	Látható-e a balatonvilágosi dombról a balatonmáriafürdői strand? Látható-e a balatomszemesi hajóállomásról a balatonakarattyai Nagy Szilfa? A Balaton tengerszint feletti magassága 104 m, az említett domb és fa tetejének tengerszint feletti magassága 154 m. 1 : 95000 arányú térképen a domb és a strand távolsága 70 cm, a fa és a hajóállomás távolsága 38, 5 cm. A Földet vegyük gömb alakúnak, és az egyenlítő hossza legyen 40000 km.