Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

9. osztály

I. forduló

1. Igazoljuk, hogy bármely háromszög felbontható 6, illetve 7 egyenlő szárú háromszögre!

2. Bizonyítsuk be, hogy  nem lehet prímszám, ha p prímszám!

3. Az f(x) = x! függvény értelmezési tartománya a 2004-nél kisebb pozitív egész számok halmaza. (x! = 1 . 2 . … . x; ). Adjuk össze az értékkészlet minden elemét! Határozzuk meg ebben az összegben az egyesek helyén álló számjegyet!

4. Világvége városban egy tanuló buszbérlet ára egy hónapra 1400 Ft. A szeptemberben váltható 4 havi kedvezményes bérlet 5400 Ft-ba kerül. Egy bank a betéteseknek havi 
0,6% kamatot ad. Érdemes-e havonta megváltani a bérletet úgy, hogy az 5400 Ft-ból fennmaradó összeget a bankban tartjuk?

5. Az ABC háromszögben az A-nál lévő szög nagysága 60o, ennek a szögnek a szögfelezője AA' (A'BC). Az A' pontból AB-re állított merőleges az AB-t M-ben, az M-ből AA'-ra állított merőleges az AA'-t N-ben metszi. Igazoljuk, hogy 3A'M – 2A'N = AA'!

6. Igazoljuk, hogy a páronként különböző a, b, és c valós számokra teljesül, hogy 
 !