Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

12. osztály

II. forduló

1.	Oldjuk meg a valós számok halmazán az  egyenletet, ahol p valós paraméter!

2.	Egy nemzetközi konferencián 2004 meghívott vesz részt. Minden hármas csoportban legalább ketten beszélnek egy közös nyelvet, és minden meghívott legfeljebb 5 nyelvet beszél. Mutassuk meg, hogy legalább 200-an beszélnek közös nyelvet.

3.	Adottak az A, B, C, D térbeli pontok úgy, hogy bármely P térbeli pont esetén
                      PA2+PC2=PB2+PD2 
Igazoljuk, hogy az A, B, C, D pontok egy téglalap csúcsai.

4.	Határozzuk meg azokat a valós együtthatós polinomokat amelyekre teljesül, hogy P(x2+1)=P2(x)+1 bármely x valós szám esetén, és P(0)=0.

5.	Adjuk meg az összes olyan a, b, c tízes számrendszerbeli számjegyeket, amelyekre tetszőleges pozitív egész n esetén igaz a következő egyenlőség (n db a, n db b, n db c):                                      
                                                 .

6.	Adott egy egységnyi élű szabályos tetraéder. Bizonyítsuk be, hogy 
a) megadható a felszínén négy pont úgy, hogy a felszín tetszőleges pontjának  valamelyiktől mért távolsága (a felszínen mérve) nem haladja meg az -et;
 b) három ilyen tulajdonságú pont már nem létezik.