Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

12. osztály

I. forduló

1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán!

                                                     

2. Az a oldalélű kockába olyan egyenes körhengereket írunk, amelynek forgástengelye a kocka egyik testátlója. Számítsuk ki az így beírt hengerek közül a maximális térfogatúnak a térfogatát!

3. Tekintsük egy 4xn-es négyzetháló rácspontjait (5x(n+1) rácspont). Hány olyan téglalap van, amelynek minden csúcsa ezen négyzetháló rácspontjai közül való? 

4. Adott egy doboz kristálycukor, egy kéttányérú mérleg és egy 1 g tömegű tárgy. Adjuk meg azt a módot, amely segítségével legkevesebb számú méréssel lehet 1 kg cukrot kimérni?

5. Oldjuk meg az egész számok halmazán az xy+yz+zx=0 egyenletet!

6. Vegyünk n3 db 1 egység élű kis kockát, majd készítsünk belőlük n egység élű kockát. Legkevesebb hány kis kockát kell találomra kifesteni ahhoz, hogy biztosan létezzen legalább egy teljesen befestett oszlop?