Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

11. osztály

II. forduló

1.	Az egységnyi átfogójú derékszögű háromszögek közül melyikben legkisebb a háromszög kerületének és a háromszögbe írt kör sugarának az aránya?

2.	Oldjuk meg az egész számok halmazán az alábbi egyenletrendszert.

3.	Mely (x; y; z) valós számhármas esetén igaz az alábbi egyenlőség?

4.	Az ABC szabályos háromszöglap egyik belső pontja P. Az oldalakra P-ből állított merőlegesek talppontja rendre D, E, F. Jelölje P-ből a talppontokba mutató vektorokat rendre . Legyen X az a pont, amelyre teljesül, hogy a P-ből az X pontba mutató  vektor előáll  alakban. Függ-e az X pont helyzete a P pont választásától?

5.	Írjuk fel a pozitív egész számokat az alábbi elrendezésben.
                                                 
           Igazoljuk, hogy az egyes vízszintes sorokban álló számok összege egyenlő két egymást
           követő természetes szám köbének összegével!

6.	Jelölje a, b, c egy háromszög oldalait, α, β, γ rendre a velük szemközti szögeket. Bizonyítsuk be, hogy α=3β pontosan akkor teljesül, ha !