Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

10. osztály

II. forduló

1.	Van-e olyan számrendszer amelyben az 572 alakú szám osztható a 275 alakú számmal?

2.	Egy háromszög két magassága 12 cm és 18 cm. A magasságpont a 12 cm-es magasságon a csúcstól távolabbi harmadoló pont. Milyen arányban osztja a magasságpont a másik magasságot?

3.	Egy iskola 10. osztályos tanulóival féléves záró dolgozatban 10 kérdésből álló feladatsort iratnak. A kérdéseket 1-től 10-ig számozzák. Az n-edik kérdésre jó válasz esetén n pont szerezhető, rossz válasz esetén n pontot levonnak. Bizonyítsuk be, hogy legkevesebb 4 tanuló azonos pontszámot szerzett, ha 169-en írták meg a dolgozatot.

4.	Legyen adott p és q páratlan egész számok. Bizonyítsa be, hogy az egyenlet gyökei nem lehetnek racionális számok.

5.	Bizonyítsa be, hogy a derékszögű trapéz átlói akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha a merőleges szár a párhuzamos oldalak mértani közepe.

6.	Az ABC egyenlőszárú háromszög alapja a, szárainak hosszúsága b, a szárak szöge 20°. Bizonyítsuk be, hogy a3+b3=3ab2 .