Szőkefalvi-Nagy Gyula Matematikai Emlékverseny XLII. esztendő
2003-2004. tanév

10. osztály

I. forduló

1. Bizonyítsuk be, hogyha x és y olyan egész számok, amelyekre x2+xy+y2 osztható 9-cel, akkor x is, y is osztható 3-mal!

2. Mely pozitív egész n értékekre igaz a következő egyenlőség?
                     
(az a szám egész részét, azaz az a-nál nem nagyobb legnagyobb egész számot jelöli.)

3. Az ABCD paralelogrammában legyen E a BC oldal felezőpontja. Az AE egyenes az AC átlóval 30°-os, az AB oldallal pedig 105°-os szöget zár be. Határozzuk meg a paralelogramma szögeit!

4. Adott 20 db egybevágó derékszögű háromszög, ezek befogói 5 cm és 10 cm hosszúak. Összeilleszthetők-e ezek a háromszögek úgy, hogy négyzetet alkossanak? Ha igen, mekkora a négyzet oldala?

5. Egy vasútvonalon A helységből személyvonat indul C helységbe. Amikor a vonat B-n átfut, onnan egy tehervonat indul A felé. A tehervonat A-ba érkezésekor egy gyorsvonat indul A-ból C felé, s ez éppen a C állomáson éri utol a személyvonatot. A és B közt félúton egy diák megfigyeli, hogy a személyvonat áthaladása után15 perc múlva futott át a tehervonat, és újabb 11 perc elteltével a gyorsvonat. A-tól a B 10 km-re van. Milyen távol van B-től a C helyiség?

6. Egy 15x15-ös négyzetháló négyzeteibe balról jobbra, felülről lefelé haladva beírtuk az 1, 2, 3,…, 225 számokat. Ezután a négyzetháló négyzeteit (mindig ötöt) letakartuk az ábrán látható kereszt alakú síkidommal minden lehetséges módon. Hányszor és milyen helyzetben lesz a letakart öt négyzetben levő számok összege négyzetszám?